Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Was hatten wir als letztes gemacht? Wir haben versucht, Quadriken in einer Normalform darzustellen.

Quadriken sind also Nullsterngebilde von Polynomen zweiten Grades in N-Variablen.

Da haben wir also quadratische Terme, also x i Quadrat, x i j, lineare Terme, x i und konstante, und einen konstanten Term eventuell.

Das ist die Baustein, aus der die Funktion aufgebaut wird, und dann suchen wir das Nullstellengebilde, was sich zu einer solchen Funktion ergibt.

Wir haben gesehen, dass wir eine solche Quadrik, also die Funktion, die die Quadrik ausmacht, von der wir die Nullstelle suchen,

die können wir schreiben als zusammengesetzt natürlich aus einer konstanten, einer linearen Funktion und der quadratischen Funktion, einer quadratischen bilinear Form.

Und was heißt jetzt Abbildung auf eine Normalgestalt? Da gibt es zwei Möglichkeiten, oder da gibt es eigentlich vier Möglichkeiten.

Erstmal ist die Frage, verschiebe ich die Quadrik oder transformiere ich die Quadrik, sodass sie eine besonders einfache Gestalt bekommt,

oder transformiere ich das Koordinatensystem, sodass die gegebene Quadrik im neuen Koordinatensystem eine besonders einfache Gestalt bekommt.

Das erste ist die obere Geschichte, das heißt aus der Quadrik Q wird die Quadrik F von Q, wenn F eben diese Transformation ist.

Und das andere ist die untere Geschichte, die Quadrik Q bekommt in den Variablen y sozusagen eine neue Gestalt Q' und ist dann F hoch minus eins von Q.

Also im Wesentlichen ist das das Gleiche, man muss bloß wissen, was man macht. Jetzt haben wir noch eine zweite Wahl.

Die eine Wahl ist die, ach so was wir immer noch uns erlauben wollen, ist, dass wir schließlich noch mit einer Konstanten durchmultiplizieren, denn es ist klar Nullstellengebilde.

Die Form ist immer nur bis auf eine Konstante bestimmt.

Die zweite Wahl, die wir haben, ist allgemeine Affinitäten. Wir haben gesehen, wir brauchen lineare Abbildung, um den quadratischen Anteil, den Matrix-Anteil auf eine einfache Gestalt,

eine Diagonalgestalt zu bringen. Und wir haben auch gesehen, wir brauchen die Translation, um gegebenenfalls lineare und konstante Anteile zu entfernen aus der Darstellung.

Das heißt, das wäre die eine Option, Affinitäten für die Transformation, das für zu affin in Normalform, das ist das, was wir schon betrachtet haben.

Die andere Variante ist, dass man etwas anspruchsvoller ist und sagt, okay, ich darf zwar verschieben, ich darf auch drehen oder spiegeln, aber Längen darf ich nicht verändern.

Im Moment haben wir die völlige Freiheit, die Längen zu verändern, was auf der Diagonale der Matrix steht, das ist Schall und Rauch.

Da, ob da eine 1 steht oder eine 5 ist eigentlich ziemlich gleichwertig, das ist einfach nur eine Skalierung der Variablen dazwischen.

Wenn ich sage, ich möchte meine Bewegungen, ich möchte keine Längen verändern, dann darf ich sowas nicht machen.

Und dann bin ich bei dem linearen Anteil eingeschränkt auf eine orthogonale Transformation.

Das führt dann zur euklidischen Normalform und das ist die Situation, die wir uns noch anschauen müssen.

Gut, wir haben das dann in erweiterten Koordinaten geschrieben und so weiter und so weiter.

Wieso geht das Ding jetzt wieder mal nicht?

Mittlerweile hat es sich jetzt so überlegt zu gehen.

Wir sind auf diese Weise zu diesem Satz gekommen, an den ich noch einmal erinnern will.

Wir können also auf, was sind die wesentlichen Ingredienzchen, die entscheiden, welche Normalform herauskommt.

Es ist zum einen der Rang der Matrix selbst von A und dann schließlich der Rang der erweiterten Matrix A'

der gerenderten Matrix, die dadurch entsteht, indem ich den Vektor B noch als Spalte, respektive unten als Zeile hinzufüge

und die Zahl C dann in die untere rechte Ecke.

Es ist also dann möglich, dass der Rang von A' größer ist als der Rang von A.

Er kann maximal um 2 größer sein.

Wir haben gesehen, wenn der Rang gleich bleibt, dann tritt der Fall 1 auf.

Das heißt also insbesondere, wenn die Matrix vollen Rang hat, muss dieser Fall vorliegen.

Das heißt also, ich kann hier auf eine Diagonalgestalt kommen und ich kann den linearen Anteil völlig loswerden.

Der zweite Fall, und zwar noch einmal genauer unterschieden, hinsichtlich des Auftretens der Konstante.

Die Konstante tritt nicht auf, wenn die Ränge gleich sind.

Die Konstante tritt auf, wenn ich eine Rang-Erhöhung um 1 habe.

Im verbleibenden Fall, also wenn die Rang-Erhöhung um 2 stattfindet, dann komme ich auch bei dieser Situation raus.

Dann ist die Matrix A notwendigerweise nicht invertierbar

und ich kann dann nicht wie im ersten Fall den linearen Anteil vollständig entfernen.

Ich kann ihn nur auf eine Normalgestalt bringen, indem ich sozusagen eine Komponente,

und dann nimmt man typischerweise immer die nächste Komponente, nach denen die hier auftreten,

dann in der Form beibehält.

Jetzt noch einmal zum Vorzeichen hier.

Ich habe noch einmal nachgeschaut, die Folien haben wir, ist sie noch eine alte Version?

Wir hatten eine studentische Hilfskraft beauftragt, die Folien anzupassen an das Buch,

aber vielleicht ist das ein bisschen eine zu schwierige Aufgabe, das ist irgendwie nicht gelungen.